1. Основа автономности
Мы в первую очередь фокусируемся на автономных системах. Система, в которой функции $F$ и $G$ в уравнениях (1) не зависят от независимой переменной $t$, называется автономной. Эта независимость позволяет интерпретировать траектории как постоянные пути на фиксированной фазовой плоскости.
Для любой автономной системы $\mathbf{x}' = \mathbf{f}(\mathbf{x})$ существует единственное решение, удовлетворяющее $\mathbf{x}(t_0) = \mathbf{x}_0$. На фазовой плоскости это означает, что траектории никогда не пересекаются; путь определяется исключительно текущим состоянием, а не временем, когда вы туда прибыли.
2. Линейные ориентиры против нелинейных реалий
В линейных системах $\mathbf{x}' = \mathbf{Ax}$ начало координат обычно является единственной точкой равновесия, управляемой определителем $q = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$ и следом. Однако нелинейные системы определяются их критическими точками—точками, где правая часть равна нулю. Крупная ловушка заключается в том, что может быть несколько или даже много критических точек, конкурирующих за влияние на траектории.
Пример: Нелинейный маятник
В отличие от линейной массы-пружин, где период постоянен, период $T$ нелинейного маятника зависит от его амплитуды, выражаемый через эллиптический интеграл:
$$T = 4\sqrt{\frac{L}{g}} \int_{0}^{\pi/2} \frac{d\phi}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2 \phi}}$$
3. Устойчивость и взгляд Лиапунова
Чтобы анализировать эти точки без решения уравнений, мы используем функции Ляпунова. Пусть $V$ определена на некоторой области $D$, содержащей начало координат. Тогда $V$ считается положительно определённой на $D$, если $V(0, 0) = 0$ и $V(x, y) > 0$ для всех других точек в $D$.
Когда мы переходим к трёхмерному пространству, сталкиваемся с матрицей Лоренца:
$$\begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} -10 & 10 & 0 \\ 1 & -1 & -\sqrt{\frac{8}{3}(r-1)} \\ \sqrt{\frac{8}{3}(r-1)} & \sqrt{\frac{8}{3}(r-1)} & -\frac{8}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}$$